수학으로 이해하는 코로나 백신과 집단면역 - 1

수학으로 이해하는 코로나 백신과 집단면역

<1편. 백신 접종의 목적을 수학으로 이해하기>

 

COVID-19(이하 '코로나 바이러스')는 일종의 전염병입니다.

 

예방의학의 한 분야인 역학(epidemiology)에서는 COVID-19와 같은 전염병의 전염력을 effective reproduction number($R$)로 나타냅니다.

$R$의 정의는

감염된 한 사람이, 감염시점부터 회복되기까지 만들게 될 신규 감염자의 수

를 의미합니다.

 

$R$은 아래와 같이 두 숫자의 곱으로 표현되는데요,

$R = R_0 \times s$

$R_0$: 코로나 바이러스가 자체적으로 지니고 있는 전염력. 바이러스 자체의 능력이기 때문에 백신 접종을 통해 바꿀수(낮출 수) 없다.

$s$: 전염병에 면역력을 갖지 않은 사람들의 비율. 수식을 보면, 작을수록 전염력($R$)이 낮아짐을 알 수 있다. $s$는 비율값으로서 0부터 1 사이의 값을 가지며, 백신 접종을 받아 면역력을 갖춘 사람이 많아질수록 $s$는 작은 값이 된다.

 

쉽게 말해, 전염병 자체의 전염력이 아무리 세다 한들(높은 $R_0$), $s$가 작으면 $R$이 작아져서 실질적인 감염력이 유의미하게 낮아질 수 있다는 점이 포인트입니다.

 

과거 유럽에서 2억명 가까이의 목숨을 앗아갔던 흑사병을 예로 들어 보겠습니다. 흑사병은 바이러스 자체의 전염력이라고 할 수 있는 $R_0$ 자체도 물론 컸지만, 당시 유럽 사회에 마땅한 백신이 없어 $s$가 1에 가까운 상태였습니다. 그래서 결과적으로 $R$이 매우 컸고, 2억명에 가까운 사람들의 목숨을 앗아가고야 말았죠.

만약 당시에 흑사병에 대항할 수 있는 효과적인 백신이 있었다면 $s$를 0에 가깝게 만들 수 있을 것이고, 따라서 $R$을 상당히 낮출 수 있었을 것입니다. (당연히 사망자 수도 2억명씩이나 되지 않았을 터)

 

다시 대한민국의 코로나 시국으로 돌아와서 생각해보겠습니다.

만약 대한민국에 코로나 바이러스 백신 접종자가 많아진다면, $s$는 작아지게(0으로 접근) 되며, 따라서 결과적으로 전염력을 나타내는 $R$ 또한 낮아지게 될 것입니다.

이렇게, $s$를 낮추는 것이 바로 백신 접종의 목적이라고 할 수 있으며

$s$를 낮추는 것이 집단면역(herd immunity)으로 가는 길이라고 할 수 있습니다.

 

2편에서는 집단면역을 달성하기 위해 최소한 어느만큼의 백신접종이 필요한지에 대해 포스트 해보겠습니다.

 

 

(본 포스트는 Dr Julia Collins and Nadia Abdelal의 Spread of Disease의 내용을 요약정리 한 것입니다.)