수학으로 이해하는 코로나 백신과 집단면역 -2

수학으로 이해하는 코로나 백신과 집단면역

<2편. 집단면역 달성을 위해 얼마만큼의 백신 접종이 필요할까?>

 

집단면역을 달성하기 위해서는 일정 비율 이상의 인구가 면역상태에 있어야 합니다.

이는 너무나 당연한 것입니다. 적은 숫자의 사람들만 면역력을 갖는다면, 인구집단이 집단면역 상태에 들어갈 수 없습니다.

 

면역력을 갖추는 방법 중 하나는 백신을 맞는 것입니다.

물론 대한민국 전 국민이 백신을 맞는 것이 가장 이상적이겠지만, 현실적(경제적, 행정적)으로 많은 비용이 초래되기에 이는 쉽지 않습니다.

 

그렇다면 이런 질문을 던져볼 수 있습니다.

 

집단면역을 이루기 위해 최소한 몇 퍼센트의 국민들이 면역력을 가져야 할까?

즉, 인구집단 내에 감염병이 더이상 번지지 않도록 하는 최소한의 면역 인구 비율은 얼마일까?

 

이렇게 집단면역을 달성하기 위해 필요한 최소한의 면역인구 비율을, '집단면역 경계값' ($=v_T$)라고 부릅니다(영어로는 herd immunity threshold이고, 비율값이므로 0부터 1사이의 값을 가짐).

 

 

$v_T$를 계산하는 방법.

역학(epidemiology)에서는 $v_T$를 다음과 같이 정의합니다.

$v_T$ : $R=1$이 되도록 하는 $v$값

 

여기서 $v$라는 기호가 새로 등장하는데요,

 

이해를 돕기위해 수식을 한 줄 더 소개하면,

$s+v=1$

입니다.

앞서 1편에서

$R=R_0 \times s$를 설명할 때,

$s$는 전염병 대한 인구집단의 면역력을 반영하는 수치라고 설명했었습니다.

$v$는 $s$와 반대 관계에 있는 수치로서, 바이러스에 면역력을 가진 국민의 '비율'을 의미합니다.(이는 $s=1-v$라는 수식에서도 쉽게 알 수 있습니다)

따라서 백신을 맞은 국민이 많아질수록 $v$가 높아지고, 이에 따라 $s=1-v$가 낮아지며, 결과적으로 코로나의 실질적 전염력인

$R=R_0 \times s$

이 낮아질 수 있습니다.

 

지금까지의 분석에 따르면 $v$는 높을수록 좋습니다. 그래야 감염력을 나타내는 수치인 $R$이 작아질 수 있기 때문입니다. 하지만 위에서 설명했듯 전 국민이 백신을 모두 맞게 하는 것은 현실적으로 어려울 수 있으므로 우리는 집단면역에 필요한 최소한의 면역인구 비율인 '집단면역 경계값'($v_T$)에 관심을 갖는 것입니다.

 

$R=1$을 달성하게 하는 $v$값을 구하면 그것이 곧 $v_T$값입니다.

 

(예제)

현재 A라는 국가에 $R_0=4$인 감염병이 유행하고 있다. 이 국가에서 집단면역을 달성하기 위해 필요한 $v_T$의 값을 계산해보자.

(풀이)

$ R= R_0 \times s = 1 $

$ R = 4 \times (1-v) = 1 $

따라서, $v_T = \frac{3}{4}$.

즉, A 국가가 집단면역을 이루기 위해서는 최소한 국민의 3/4가 면역상태가 되어야 한다는 뜻입니다.

 

 

현실과 모형 간의 괴리, 그리고 시사점들

지금까지 소개한 모형은, 전염병과 관련해서 명쾌한 설명을 해주는 수학적인 모형인 것처럼 보입니다.

하지만 현실은 역학적인 수식 모델에 맞춰서 돌아가지는 않습니다. 지형적인 요소, 도시, 농촌 간 인구 밀집도의 차이 등등 고려해야할 현실적 요소들이 너무나도 많기 때문입니다. 하지만 적어도 지금까지 소개한 질병 역학 모형은 감염병 관리에 있어서 바이러스의 감염력을

(1)바이러스 자체의 감염력과,      (2)우리가 조절할 수 있는 부분

으로 양분해서 이해하도록 하는 시각을 제공해 준다는 점에서 유용합니다.

 

만약 변종 코로나바이러스가 나온다고 하면 그 바이러스의 $R_0$값은 얼마인지, 그 바이러스에 대해서 $v_T$ 값은 얼마이며, 그 수치를 달성하기 위해 필요한 경제적, 행정적, 시간적 비용이 얼마인지 빠르게 분석하고 선제적으로 대응할 수 있을 것입니다.

 

 

(본 포스트는 Dr Julia Collins and Nadia Abdelal의 Spread of Disease의 내용을 요약정리 한 것입니다.)